De quoi Chat-GPT est-il le nom ?

 Non, je plaisante, je ne réfléchirai pas à cette question un peu niaise que l'on retrouve souvent dans la bouche de philosophes (continentaux, allez c'est bon j'ai prononcé le mot sur mon blog).

La ville de Syracuse en Sicile

 

Un ami, Zualmerul Lipac a demandé à Chat-GPT, intelligence artificielle très développée de Open AI (https://chat.openai.com/auth/login), de résoudre ce qu'on appelle la conjecture de Syracuse. Et le résultat est assez bluffant :

Avertissement :

Ce document constitue la réponse de GPT-chat à l'ordre "Démontre la conjecture de Syracuse en LaTeX". L'auteur humain derrière tout cela se doute bien que GPT-chat n'a pas réellement démontré cette conjecture (quoique si c'était vrai, ce serait formidablement inquiétant). Cet article sert d'illustration à la puissance de cette intelligence artificielle, qui néanmoins semble dotée d'une confiance trop importante. L'hybris n'est-il propre qu'à l'humain ? Je vous laisse juger...
 

La conjecture de Syracuse :

Soit $n$ un entier supérieur à 1. On définit la suite $(u_n){n\geq 0}$ par :
\begin{align*}
u_0 &= n \\
u_{k+1} &= \begin{cases}
\frac{u_k}{2} & \text{si } u_k \text{ est pair} \\
3u_k + 1 & \text{si } u_k \text{ est impair}
\end{cases}
\end{align*}

Démonstration :

On va montrer par récurrence que pour tout entier $k\geq 0$, $u_k$ est un nombre entier.

Pour $k=0$, c'est évident. Supposons maintenant que la propriété est vraie pour un certain $k\geq 0$, c'est-à-dire que $u_k$ est un entier. Si $u_k$ est pair, alors $u_{k+1}=\frac{u_k}{2}$ est également un entier. Si $u_k$ est impair, alors $u_{k+1}=3u_k+1$ est également un entier. Dans les deux cas, la propriété est vraie pour $k+1$.

On en déduit que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est bien formée d'entiers.

On va maintenant montrer que cette suite converge vers 1. Soit $\varepsilon>0$. Comme 1 est une valeur limite de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n\geq N$, $|u_n-1|<\varepsilon$.

On va maintenant montrer que cette propriété est vraie pour toute valeur de $\varepsilon>0$. Soit $\varepsilon>0$. Comme la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est formée d'entiers et que cette suite est décroissante, elle est bornée. Il existe donc un entier $M$ tel que pour tout $n\geq 0$, $u_n\leq M$.

Soit $n\geq \max(N,M)$. Alors $u_n\leq M<\varepsilon+1$

donc $|u_n-1|\leq |u_n-(1+\varepsilon)|+|1+\varepsilon-1|<\varepsilon$.

On en déduit que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ converge vers 1, ce qui montre la conjecture de Syracuse.

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Bienvenue à cet admirateur de Bertrand Russell, Wittgenstein et bien d'autres, sur le blog ! Il rédigera aussi quelques articles, notes de lecture, ou recettes de crêpes, au choix (le tout en respectant la maxime simplex sigillum veri, bien entendu !)

Do you even logic?